jueves, 14 de julio de 2011

Casos de Factorizacion

Factorizacion

1. A que se le llama factores en matemática?

Entendemos por factores a aquellos elementos que pueden condicionar una situación volviéndose los causantes de la evolución o transformación de los hechos. Se le llama factores a los elementos que forma una multiplicación. Ejemplo: 4 x 3 = 12 , 4 y 3 son los factores.

Hallar los factores de 15, los factores de 15 son 3 y 5, ya que 3 x 5 = 15

Además el termino factor se utiliza en las matemáticas para hacer referencia a los diferentes términos de una multiplicación, siendo las factorización la aplicación de estas operaciones.

2. Mencionar todos los casos de factorización?

Factorar un Monomio:


En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b

Factor Común Monomio:


En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términosa² + 2a

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común, luego divida cada termino entre el factor común y los resultado serán el otro factor.

a² + 2a = a ( a + 2 )

Factor Común Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )

Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo


ax + bx + ay + by =


[ax + bx] + [ay + by]


Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio

[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)



Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio


x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)


Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²


Es es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:


El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino



Factorar: m² + 6m + 9


m² + 6m + 9 ↓…………..↓m..............3


Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término[ m ] y [ 3 ]



Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado


(m + 3)²


Nota: Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²



Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)²

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9



Junta los Términos


m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla

Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)


De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)


a² - b² = (a - b) (a + b)



4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)

Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:


Factorar (a + b)² - c²

(a + b)² - c²


Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)


[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis


(a + b + c) (a + b – c)



Trinomio de la Forma; x² + bx + c

Factorar x² + 7x + 12



Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio


(x.......) (x.......)



Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12


4 + 3 = 7

4 x 3 = 12




Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis


(x + 4)(x + 3)

Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)


Trinomio de la Forma; ax² + bx + c


Factorar 6x² - x – 2 = 0


Pasos:


Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación


6x² - x – 2

36x² - [ 6 ] x – 12




Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente


(6x.......) (6x.......)



Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]



Esos numero son [ - 4 y 3 ]


- 4 + 3 = - 1

[ - 4] [ 3 ] = - 12




Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis


(6x - 4) (6x - 3)



Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos


(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)


Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)





Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³



Suma de Cubos:
============

a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)


Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)


El cuadrado del 1er termino, [ a² ]


[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]


[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]






Diferencia de Cubos:
==============

a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)


Se resuelve de la siguiente manera

El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)


El cuadrado del 1er termino, [ a² ]


[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]


[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]

FACTORIZACION

Factorizar no es más que descomponer en dos o más factores una expresión algebraica. Se le llama factores a los elementos que forma una multiplicación. Ejemplo: 4 x 3 = 12 , 4 y 3 son los factores.

Hallar los factores de 15, los factores de 15 son 3 y 5, ya que 3 x 5 = 15

Caso I: Factor común monomio

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).
Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:

1- Descomponer en factores a² + 2a

El factor común es a, puesto que está en los dos términos, y se toma esta variable con su menor exponente para el primer factor.

a² + 2a = a (a+2) el factor (a + 2) se obtuvo dividiendo los dos términos entre el primer factor buscado.

a² + 2a = simplificando se obtiene a + 2
a a


2- Descomponer en factores 10b – 30 a b² .

Se busca el máximo común divisor de 10 y 30, o sea, el numero mayor que divida al 10 y al 30 exactamente que es el 10. De las letras, el único factor común es b porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Ahora dividimos la expresión
10b – 30 a b² entre el facto común para obtener el segundo factor y dejar asi la expresión factorizada. 10b/10b – 30ab²/10b = 1 – 3ab , de donde:

10b – 30a b² = 10b (1 – 3ab).

Ejercicios:

Factorar o descomponer en dos factores:


1) 3a³ – a² = a² (3a-1)

2) 15c³ d² + 60 c² d³ = 15c² d² (c + 4d)

3) 34ax² + 51a² y – 68 a y² = 17a (2x² + 3ay - 4y²)

VER VIDEO PARA UNA MEJOR COMPRENSION

Caso II

Factor común por agrupación de términos

Para factorizar un polinomio por agrupación de términos, debes reunir los términos de tal manera que tengan un factor común, luego se factorizan cada uno por separado y finalmente vuelva a factorizar esta última expresión


1) ab + ac + bd + dc = se agrupan (ab + ac) porque a es común en los dos términos

y (bd +dc) por d es común en los dos términos, la expresión queda así:

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) + (bd + dc), ahora se factorizan cada uno a parte.

= a(b + c) + d(b + c), se factoriza de nuevo ya que (b + c) es un factor común en ambos caso.

= (a + d) (b + c)
Factores del polinomio.

Ejemplo: Factorizar el polinomio

2) by + bx + ay + ax = aquí conviene reunir a (ax + bx) y a (ay + by) porque x y y son variables comunes, luego

by + bx + ay + ax = (ax + bx) + (ay + by) factorizando tendremos

= x(a + b) + y(a + b) de donde

= (a + b) (x + y) factores del polinomio

3) 2ab + 2a - b - 2ac + c - 1
(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)
2a(b - c + 1) - (b - c + 1)
(b - c + 1) (2a - 1)
Haga este Haber si entendiste
1) 2x² - 3xy – 4x + 6y =



Caso III

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es aquel que cumple con las siguientes condiciones:

1- El primer y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta.

2- El primer y el tercer término son positivos.

3- El segundo término es el doble del producto de las raíces del primer y el tercer término.

Ejemplo: x² + 4x + 4, observa que x² y 4 tienen raíces exactas y que 4x es el doble de la raíces de x² y 4.

Otro 9x² + 30x + 25, observa que 9x² y 25 tiene raíces exactas que son 3x y 5 el segundo término, o sea 30x, se forma multiplicando 3x y 5 que son las raíces de 9x² y 25 y luego este resultado se multiplica por 2 que es el doble.


Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto.

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo.

Ejemplos descritos:

Factorizar: m² + 6m + 9

m² + 6m + 9 = (m + 3), observe que la raíz de m² es igual a (m) y que la raíz de 9 es (3), luego el binomio se multiplica por sí mismo, quedando la expresión así:


m² + 6m + 9 = (m + 3) (m + 3), que son los factores buscado. El signo del primer binomio corresponde al signo del segundo término (+6m), y el signo del segundo término corresponde al producto de los signos del segundo término (+6m) y el tercero (+9), o sea + x + = +

Factorizar: 4x² + 25y² – 20xy

Ordenando el trinomio, tenemos:

4x² - 20xy + 25y² = la raíz de 4x² es 2x y
la raíz de 25y² es 5y, luego se tiene (2x – 5y) (2x – 5y)

Factoriza este haber se entendiste y² - 14y + 49, pero ante mira este video.



Caso IV

Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado x², y uno de ellos es el término independiente c. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo: factorizar

1) a² + 2a – 15, este trinomio no es cuadrado perfecto, ya que se observa que el tercer termino no tiene raíz exacta. En estos casos se procederá como sigue:

a) Se halla la raíz al primer término (en este caso la raíz de a² es (a))

b) Luego se buscan dos números que multiplicado den el tercero (en este caso -15) y sumado o restados den el segundo termino ( en este caso +2a), estos números son el

5 y el -3, ya que 5(-3) = -15 tercer término y 5 + (-3) = +2 segundo término.

El trinomio a² + 2a – 15 = (a + 5) (a - 3) es recomendable colocar el numero mayor en el primer factor.

2)
x² + 8x - 20 = (x + 10) (x - 2),
se prueba con 10(-2) = -20 y 10 + (-2) = 8

Tiene que hacer este para probar que comprendiste, pero ante mira este video.

1) x² - 5x - 24 =


Caso V

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Factorizar el polinomio:

4x² + 19x + 12, para factorizar una expresión como esta, donde el coeficiente del primer término es diferente de 1, se multiplica cada término por el coeficiente (en este caso el 4) y se obtiene:

16x² + 19(4x) + (48), el cuatro se deja expresado en el segundo término. Luego se factoriza la expresión:

(4x + 16 ) (4x + 3), se factoriza cada binomio y se obtiene la expresión:

4(x +4 ) (4x + 3), como se multiplico por 4, ahora debemos dividir por 4, y la expresión queda así:

4(x + 4) (4x + 3), simplificando obtenemos:

4

(x + 4) (4x+ 3), finalmente estos son los factores buscados, es decir que,

4x² + 19x + 12 = (x + 4) (4x+ 3), para estar seguro que estos son los factores solo basta con multiplicarlo y su productor debe ser la expresión original 4x² + 19x + 12.

Para estar seguro que entendiste debes resolver este, pero ante observe este video.

1) 4x² + 12x + 9

Caso IV

Diferencia de cuadrados perfectos

Regla para factorar una diferencia de cuadrados.

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo.

Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos .

1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y que el segundo término este precedido del signo - ejemplo:


m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el primer

termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4 es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4.



Ejemplos descriptivos de factorizacion:

Factorizar: 1 – a^2

La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos:

1 – a^2 = (1 + a) (1 – a)


Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12


49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 )


Factorizar o descomponer en dos factores.


1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5)


2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b)


3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10)


4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx)


Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos.


Factorizar: (a + b) ^2 – c^2

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.

Así, en este caso tenemos:


La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b).

La raíz cuadrada de c^2 es c.

Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo:


(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c]

= (a + b + c) (a + b – c)



Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2


La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q).


La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2).

Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q + 2) y tengo:


(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)]

= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y
queda.

= (p + 2q + 2) (p – 2).


Ejercicios del caso especial.


a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)]

= (a + b + c) (a – b + c)


(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)]

= (x – y + c + d) (x – y – c – d)



4(a + b) ^2 – 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) – 3(c + d)]

= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b – 3c – 3d)
















Casos Especiales

Combinación de los casos III y IV.

Regla para resolver una combinación de los casos III y IV.

1) Observar detenidamente el ejercicio y fijarse si en ella hay un trinomio cuadrado perfecto, ejemplo:


a^2 + m^2 – 4b^2 – 2am

ordenando para observar de mejor manera el trinomio cuadrado perfecto nos queda


a^2 – 2am + m^2 – 4b^2

Como vemos en la parte sombreada de azul identificamos un trinomio cuadrado perfecto que ya lo estudiamos anteriormente.

2) Luego resolvemos encerrando en paréntesis todo el trinomio cuadrado perfecto:


Quedándonos de esta manera (a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 .


3) Una vez que lo agrupamos comenzamos resolviendo el trinomio cuadrado perfecto


(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) ^2 – 4b^2

Luego observamos detenidamente que se trata de una diferencia de cuadrados perfectos del
caso especial que ya lo estudiamos.

4) Resolvemos la diferencia de cuadrados perfecto y nos queda:


(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) – 4b

= (a – m + 2b) (a – m – 2b)

Siendo la respuesta (a – m + 2b) (a – m – 2b)









Factorizar: 1 – 9x^2 + 24 xy – 16y^2


Resolviendo: 1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 )

En este ejemplo vemos que al agrupar no nos da un trinomio.

(9x^2 + 24xy – 16y^2 )

No es un trinomio cuadrado perfecto porque al multiplicarlo (9x + 4y) ^2 es decir
(9x + 4y) (9x + 4y) no nos va a dar el trinomio inicial.

Entonces hacemos lo siguiente:

1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 ) =
1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2 )

donde esta el signo – que esta de azul cambiamos los signo de los términos que están adentro del paréntesis es decir 9x ^2 cambia a –9x^2 ; de 24xy cambia a – 24xy; de -16y^2 cambia a 16y ^2.
sombrear este grupo
Pero agrupándolo nos queda 1 –
(9x^2 - 24xy + 16y^2) para no afectar el trinomio el

cuadrado perfecto, el - 9x^2 el signo – se queda afuera como estamos observando en el ejemplo anterior para no afectar el trinomio.

De ahí si podemos resolver el ejercicio:


[1 – (9x^2 – 24xy + 16y^2 )]

[1 – (3x – 4y) ^2 ]

[(1 + (3x – 4y)] [(1 – (3x – 4y)] ojo en la segunda agrupación vemos el – en el

siguiente paso se cambia el signo.

(1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).

quedándonos como resultado (1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y).













Ejercicios de la combinación de los casos III y IV


1) c^2 – a^2 + 2a - 1 = c – (a – 2a + 1)

= c^2 – (a – 1) ^2

= (c + a – 1) [c – (a – 1)]

= (c + a – 1) (c – a + 1)



2) m^2 – x^2 + 9n^2 + 6mn – 4ax – 4a^2 = (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 – 4ax x^2)


= (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 + 4ax + x^2 )


= (m^2 + 3n) – (2a^2 + x)

= (m + 3n + 2a + x) (m + 3n – 2a – x)




3) x^2 – a^2 + 2xy + y^2 + 2ab – b^2 = (x^2 + 2xy + y^2 ) – (a^2 + 2ab – b^2)


= (x^2 + 2xy + y^2) – (a^2 – 2ab + b^2)


= (x^2 + y) – (a^2 – b)


= (x + y + a – b) (x + y – a + b)




El caso del Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción lo tenemos en archivo pdf para obtenerlo hacar clic aqui


Nota: En este blog los exponentes se expresan de la siguiente manera:

a^2 = se lee a elevada a la segunda potencia

ab^2 = se lee b es elevado a la segunda potencia l el símbolo ^ no influye en la letra a

(a + b)^2 = se lee que el polinomio (a + b) es elevado a la segunda potencia

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